מאז גיל 23, כסטודנט צעיר במכון ויצמן למדע, השתתף חיים הררי במאמצים לקידום החינוך המדעי בישראל. בשנת 1963, הוא היה אחד מהמשתתפים הראשונים ב"קבוצת רחובות", תחת הנהגתו של פרופ' עמוס דה שליט ז"ל, שיזם והתחיל אז את הפעילות החינוכית של מכון ויצמן. בשנת 1970, בגיל 29, התמנה הררי לראש המחלקה להוראת המדעים במכון. בשנת 1972 נתמנה לדיקן מדרשת פיינברג של מכון ויצמן למדע, הגוף שהכשיר אז כשליש מכל הדוקטורנטים בתחום המדעים בישראל, וכיהן בתפקיד זה עד 1978. הוא היה גם יו"ר ועדת המקצוע ללימודי הפיזיקה מטעם משרד החינוך (1973-1978) ושני עשורים לאחר מכן (1995-1998) יו"ר הנהלה של המרכז להוראת המדעים, שהוקם על ידי משרד החינוך.
בשנת 1974, יחד עם סטודנט לדוקטורט במדעי המחשב, רוני עטר, הקים תכנית לגיוס סטודנטים כ"חונכים" או "מנחים" לילדים מרקע סוציו-אקונומי נמוך. התוכנית פותחה על ידי עטר והררי עם קומץ מתנדבים והובילה בסופו של דבר לפרויקט ארצי המונה למעלה מ 25,000 סטודנטים לתואר ראשון, כאשר אלה משמשים כחונכים ליותר מ 25,000 ילדים. כל חונך מקבל מלגה, אשר מכסה כמעט מחצית שכר הלימוד באוניברסיטה. הררי כינה את התוכנית "פר"ח", ראשי התיבות של "פרויקט חונכות". עטר הפך למנהל הראשון של הפרויקט, והררי שימש כיו"ר המועצה הלאומית שלה כמעט ארבעים שנה, עד 2015. תוכנית פר"ח מופעלת, מאז הקמתה, ממטה ארצי הממוקם במכון ויצמן. פרויקט "פר"ח" זכה בפרס ישראל לשנת 2008 על תרומה משמעותית לחברה ולמדינה. מאז הקמת הפרויקט, למעלה ממיליון ישראלים היו חונכים-מנחים, או נעזרו בחונכים של פר"ח.
ב 1967 הפך הררי ליועץ הראשון לשתי סדרות עיקריות של תכניות לפיזיקה בטלוויזיה החינוכית הישראלית, שנוסדה אז. בשנות ה-90, יזם, כתב והגיש סדרת טלוויזיה חינוכית בת חמישה חלקים, על "100 שנות מדע, וכיצד הם שינו את חיינו". הסדרה נקראה "חומר למחשבה". בנוסף לכך, הוא נתן, במשך יותר מחמישה עשורים, הרצאות מדעיות פופולריות רבות לציבור הרחב, בארץ ובחו"ל.
בשנת 1987 יזם והוביל את הקמת "חמד"ע", המרכז לחינוך מדעי בתל-אביב. במרכז זה, רוב תלמידי התיכון מהעיר תל-אביב, שבוחרים את הרמה הגבוהה ביותר בפיזיקה וכימיה, לומדים את כל לימודיהם בתחומים מדעיים אלה, מפי מורים בעלי תואר שני או שלישי, באמצעות מעבדות, ציוד ומתקנים מן השורה הראשונה. המרכז ממשיך לפרוח, ומעניק שירות ליותר מ 1000 תלמידי תיכון בפיזיקה וכימיה. הררי שימש, במשך עשרים שנה, עד 2007, כיו"ר מועצת המנהלים של חמד"ע. שלוחה נוספת של חמד"ע הוקמה בשנת 2013 במכון ויצמן, על ידי נשיא המכון דאז דניאל זייפמן.
בשנת 1991 מינה שר החינוך הישראלי ועדה ארצית, בראשות הררי, כדי לתכנן תכנית לקידום החינוך המתמטי, המדעי והטכנולוגי במערכת החינוך הישראלית. ב-1992 הועדה הגישה דו"ח בשם "מחר 98". התכנית אומצה במלואה על ידי שלושה שרי חינוך רצופים, ויושמה ברובה בין השנים 1992 ו 1997. אולם, ב 1998 ננטשו חלקים ניכרים מהתוכנית על ידי השר הממונה החדש דאז, שלא חשב כי החינוך המדעי צריך להיות בראש סדר העדיפויות.
בשנות ה- 90, בהיותו נשיא מכון ויצמן, וביוזמתו של ד"ר משה רשפון, קיבל הררי את ההחלטה וגייס את הכספים להקמת "גן המדע ע"ש קלור", מוזיאון מדע אינטראקטיבי תחת כיפת השמיים, וכן את הקמתו של "כפר הנוער לאוב" - מרכז מעונות ובילוי ל 80 בני נוער, המשמש למחנות קיץ מדעיים ולביקורי מדע של בתי-ספר במהלך השנה.
באמצע שנות ה- 90, בשיתוף עם מנכ"ל משרד החינוך, ד"ר שמשון שושני ויו"ר מפעל הפיס, גדעון גדות, יזם הררי את המודל של מרכזי הפיס למדע ואמנות ("אשכולות פיס") ביותר מ-60 ערים בישראל. מרכזים אלה משמשים כיום מוקדי פעילות רבים בתחומי חינוך המדע והאמנות.
בשנת 1999 הקים הררי את "מכון דוידסון לחינוך מדעי במכון ויצמן למדע". זהו מכון נפרד, בקצהו של קמפוס מכון ויצמן, המוקדש לפרויקטים חינוכיים רבים למורים, לתלמידי בתי הספר ולציבור הרחב, במתמטיקה, מדע וטכנולוגיה. בשנת 2007 הורחב מכון דוידסון על מנת לכלול את רוב תחומי הפעילות החינוכית של מכון ויצמן. מכון דוידסון מפעיל למעלה מ-70 תכניות שונות בחינוך המדעי, בהן משתתפים מאות אלפים ומעסיק כ-200 עובדים. הררי כיהן כיו"ר המייסד של מועצת המנהלים של מכון דוידסון מ 1999 עד 2015.
בשנת 2004 זכה הררי בפרס אמ"ת לחינוך על תרומתו וחדשנותו בחינוך המדעי.